Chapitre 10 : Produit
scalaire
- Définition
1) Norme d'un vecteur
Définition : Soit ↑u
un vecteur du plan, si A et B sont deux points tel que ↑u
= ↑AB, on appelle norme
de ↑u et on note ‖↑u‖
le réél définie par ‖↑u‖
= AB
Propriété : Dans le plan muni
d'un repère orthonormé O, ↑i,
↑j la norme d'un vecteur
↑u de coordonné (x ;
y) est ‖↑u‖
= √(x² + y²)
2) Produit scalaire de deux vecteurs
Définition : Soit ↑u
et ↑v deux vecteurs du
plan, on appelle produit scalaire de ↑u
et ↑v, que l'on note
↑u.↑v,
le réel définie par ↑u.↑v
= ‖↑u‖
* ‖↑v‖
* cos (↑u, ↑v)
Remarque : ↑u.↑u
= ‖↑u‖*‖↑u‖*cos
(↑u, ↑u)
↑u²
= ‖↑u‖*‖↑u‖
= ‖↑u‖²
↑u²
= carré scalaire de ↑u
- Différentes formes du produit scalaire
1) Produit scalaire et projection
orthogonal
Soit ↑AB
et ↑AC deux vecteurs du
plan. On note H, le projeté orthogonale du point C sur la droite
(AB).
Si (↑AB,
↑AC) a une mesure dans
]-₶/2 ; ₶/2[,
alors
↑AB.↑AC
= ‖↑AB‖*‖↑AC‖*cos
(↑AB, ↑AC)
cos (↑AB, ↑AC) = AH/AC
AH = AC*cos (↑AB, ↑AC)
cos (↑AB, ↑AC) = AH/AC
AH = AC*cos (↑AB, ↑AC)
d’où ↑AB.↑AC
= AB * AH
Si (↑AB,↑
AC) a une mesure dans ]₶/2 ;
3₶/2[, alors
cos ( ₶-α
) = AH/AC
AC*cos ( ₶-α ) = AH
cos ( ₶-α ) = - cos(α)
AH = -AC*cos (α)
AC*cos ( ₶-α ) = AH
cos ( ₶-α ) = - cos(α)
AH = -AC*cos (α)
d'où ↑AB.↑AC
= ‖↑AB‖*‖↑AC‖*cos(AB)
= AB*(-AC)*cos (α)
= -AB*AH
Soit ↑AB
et ↑AC deux vecteurs du
plan et soit H le projeté orthogonale du point C sur la droite (AB).
Si ↑AB,
↑AH on le même sens,
alors ↑AB.↑AC
= AB*AH
Si ↑AB,↑
AH sont de sens contraire, alors ↑AB.↑AC
= -AB*AH
2) Produit scalaire et coordonnées
Dans un repère orthonormal (O, ↑i,
↑j) l'expression
analytique du produit scalaire des vecteurs u (x,y) et v (x', y') est
↑u.↑v
= x*x' + y*y'
Rappel dans un repère orthonormal
(O, ↑i, ↑j)
on a ‖↑i‖
= ‖↑j‖
= 1 et ↑i.↑j
= ↑j.↑i
= 0
3) Nouvelle expression du produit
scalaire
‖↑u + ↑v‖
² = ( ↑u + ↑v)²
= ↑u² + 2↑u.↑v
+ ↑v²
Or, ↑u²
= ↑u.↑u
= ‖↑u‖²,
donc ‖↑u + ↑v‖²
= ‖↑u‖²
+ 2↑u.↑v
+ ‖↑v‖²
D'où 2↑u.↑v
= ‖↑u + ↑v‖²
– ‖↑u‖²
– ‖↑v‖²,
donc ↑u.↑v = ½ [ ‖↑u + ↑v‖² – ‖↑u‖² – ‖↑v‖² ]
donc ↑u.↑v = ½ [ ‖↑u + ↑v‖² – ‖↑u‖² – ‖↑v‖² ]
- Propriété du produit scalaire
1) Symétrie et bilinéarité du
produit scalaire
Pour tous vecteurs ↑u,
↑v, ↑w
et tous nombres réels α
, on a
↑u.↑v
=↑ v.↑u
↑u*(↑v
+ ↑w) = ↑u.↑v
+ ↑u.↑w
α*(↑u.↑v)
= (α*↑u).↑v
= ↑u.(α*↑v)
Démonstration
↑u.↑v
= ½ ( ‖↑u + ↑v‖²
– ‖↑u‖²
– ‖↑v‖²
)
= ½ ( ‖↑v
+ ↑u‖²
– ‖↑v‖²
– ‖↑u‖²
)
=↑v.↑u
2) Orthogonalité du produit
scalaire
Théorème : Deux vecteurs sont
orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
