Chapitre 10 : Produit scalaire

1. Définition

1) Norme d'un vecteur

Définition : Soit ↑u un vecteur du plan, si A et B sont deux points tel que ↑u = ↑AB, on appelle norme de ↑u et on note ‖↑u‖ le réél définie par ‖↑u‖ = AB

Propriété : Dans le plan muni d'un repère orthonormé O, ↑i, ↑j la norme d'un vecteur ↑u de coordonné (x ; y) est ‖↑u‖ = √(x² + y²)

2) Produit scalaire de deux vecteurs

Définition : Soit ↑u et ↑v deux vecteurs du plan, on appelle produit scalaire de ↑u et ↑v, que l'on note ↑u.↑v, le réel définie par ↑u.↑v = ‖↑u‖ * ‖↑v‖ * cos (↑u, ↑v)

Remarque : ↑u.↑u = ‖↑u‖*‖↑u‖*cos (↑u, ↑u)

↑u² = ‖↑u‖*‖↑u‖ = ‖↑u‖²

↑u² = carré scalaire de ↑u

2. Différentes formes du produit scalaire

1) Produit scalaire et projection orthogonal

Soit ↑AB et ↑AC deux vecteurs du plan. On note H, le projeté orthogonale du point C sur la droite (AB).

Si (↑AB, ↑AC) a une mesure dans ]-₶/2 ; ₶/2[, alors

↑AB.↑AC = ‖↑AB‖*‖↑AC‖*cos (↑AB, ↑AC)
 cos (↑AB, ↑AC) = AH/AC
 AH = AC*cos (↑AB, ↑AC)

d’où ↑AB.↑AC = AB * AH

Si (↑AB,↑ AC) a une mesure dans ]₶/2 ; 3₶/2[, alors

cos ( ₶-α ) = AH/AC
AC*cos ( ₶-α ) = AH
 cos ( ₶-α ) = - cos(α)
AH = -AC*cos (α)

d'où ↑AB.↑AC = ‖↑AB‖*‖↑AC‖*cos(AB)

= AB*(-AC)*cos (α)

= -AB*AH

Soit ↑AB et ↑AC deux vecteurs du plan et soit H le projeté orthogonale du point C sur la droite (AB).

Si ↑AB, ↑AH on le même sens, alors ↑AB.↑AC = AB*AH

Si ↑AB,↑ AH sont de sens contraire, alors ↑AB.↑AC = -AB*AH

2) Produit scalaire et coordonnées

Dans un repère orthonormal (O, ↑i, ↑j) l'expression analytique du produit scalaire des vecteurs u (x,y) et v (x', y') est ↑u.↑v = x*x' + y*y'

Rappel dans un repère orthonormal (O, ↑i, ↑j) on a ‖↑i‖ = ‖↑j‖ = 1 et ↑i.↑j = ↑j.↑i = 0

3) Nouvelle expression du produit scalaire

‖↑u + ↑v‖ ² = ( ↑u + ↑v)² = ↑u² + 2↑u.↑v + ↑v²

Or, ↑u² = ↑u.↑u = ‖↑u‖², donc ‖↑u + ↑v‖² = ‖↑u‖² + 2↑u.↑v + ‖↑v‖²

D'où 2↑u.↑v = ‖↑u + ↑v‖² – ‖↑u‖² – ‖↑v‖²,
donc ↑u.↑v = ½ [ ‖↑u + ↑v‖² – ‖↑u‖² – ‖↑v‖² ]

3. Propriété du produit scalaire

1) Symétrie et bilinéarité du produit scalaire

Pour tous vecteurs ↑u, ↑v, ↑w et tous nombres réels α , on a

↑u.↑v =↑ v.↑u

↑u*(↑v + ↑w) = ↑u.↑v + ↑u.↑w

α*(↑u.↑v) = (α*↑u).↑v = ↑u.(α*↑v)

Démonstration

↑u.↑v = ½ ( ‖↑u + ↑v‖² – ‖↑u‖² – ‖↑v‖² )

          = ½ ( ‖↑v + ↑u‖² – ‖↑v‖² – ‖↑u‖² )

          =↑v.↑u

2) Orthogonalité du produit scalaire

Théorème : Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.