Chapitre 3 : Les nombres complexes

1. Ensembles des nombres complexes

''i'' est le nombre complexe tel que i² = -1.

Tout nombre complexe s'écrit sous forme algébrique unique z = a + ib. Le réel ''a'' est appelé réel de z; il est noté réel de z. Le réel ''b'' est appelé partie imaginaire de z; il est noté imaginaire de z. L'ensembles des nombres complexes est noté ₵.

Si b = 0, alors z est dit réel (˩R Є ₵)

Si a = 0, alors z est dit imaginaire pur.

2. Addition dans ₵.

Si z₁ = a₁ + ib₁, et z₂ = a₂ + ib₂, alors z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + i*(b₁ + b₂).

3. Multiplication dans ₵.

Si z₁ = a + ib₁, et z₂ = a₂ + ib₂, alors z₁z₂ = (a₁a₂ – b₁b₂) + i*(a₁b₂ + a₂b₁).

Et (a₁a₂ – b₁b₂) est la partie réelle, et i*(a₁b₂ + a₂b₁) est la partie irréelles.

4. Conjugué d'un nombre complexe

Soit z = a + ib, on appelle conjugué de z, noté |z, le nombre complexe a - ib.

Soit z, z_1, et z₂ trois nombre complexe et z = a + ib

a) |z = z	c) |(z1z2) = |z1*|z2	e) |(1/z) = 1/|z
b) |(z1+z2) = |z1 + |z	d) |z*z = a² + b²	f) |(z1/z2) = |z1/|z2

5. Opération sur les vecteurs

Le plan est muni d'un repère orthonormé (o,↑u, ↑v)

z et |z sont les affixes des vecteurs ↑OM et ↑OM', et si ''k'' est un nombre réel, alors z + |z est l'affixe du vecteur ↑OM + ↑OM'.

''kz'' est l'affixe du vecteur k↑OM.

6. Affixe du vecteur ↑AB

Si l'affixe de A est z_A et si l'affixe de B est z_B, alors l'affixe de ↑AB est z_B – z_A et ||↑AB|| = | z_B – z_A |

7. Affixe du milieu I d'un segment [AB]

Si l'affixe de A est z_A et si l'affixe de B est z_B, alors l'affixe de z_I du milieu I de [AB] est

z_I = (z_A + z_B) / 2.