Chapitre 7 : Application des dérivés

1. Sens de variation et extremum

f est dérivable sur I.

1. Sens de variation de f

Si f '(x) > 0 sur I, alors f est strictement croissante sur I.

Si f ' (x) < 0 sur I, alors f est strictement décroissant sur I.

Si f '(x) = 0 sur I, alors f est constante sur I

2. Extremum local

a. Définition

On appelle extremum local, un minimum local ou maximum local. f présente un minimum local m = f(α) sur I en α si pour tout x € I, f(x) > f(α).

f présente un maximum local M = f(β) sur I en β si pour tout x € I, f(x) < f(β).

b. Lien avec la dérivé

Si f(x₀) est un extremum local sur l'intervalle ]a ; b[, alors f '(x₀) = 0. La courbe représentative de la fonction f admet une tangente horizontale au point (x₀ ; f(x₀))

2. Nombre de solution d'une équation f(x) = k

f est une fonction dérivable sur l'intervalle I.

Déterminer le nombre de solution de l'équation f(x) = k revient à rechercher dans le tableau de variation le nombre de fois où la fonction prend la valeur k.

Méthode

On peut localiser la (ou les) solution(s) en précisant alors à quel(s) intervalles [f(a) ; f(b)] appartient k.