- Nombre dérivé en a d'une fonction f
f est définie sur un intervalle I, C est sa représentation graphique, A est un point de C d'abscisse a, a Є I. Lorsqu'un point M de C se rapproche de A, la droite (AM) tend vers une position limite. Cette droite s'appelle la tangente en A à C.
1) Définition
On appelle nombre dérivé en a de la fonction f, la limite, si elle existe de [f(a+h - f(a)]/h quand h se rapproche de plus en plus de 0.
Le
coefficient directeur de la tangente à C au point d'abscisse a est f
'(a).
La direction de la tangente est donné par le vecteur de coordonnée (1 ; f '(a))
- Fonction
dérivées
f est une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si en tout point de I, elle admet un nombre dérivé.
1) Définition
On appelle fonction dérivée de f, la fonction notée f ' qui à tout x de I admet f '(x)
2) Fonction dérivées des fonction de référence
| Fonction f |
Fonction dérivée f ' | Dérivable sur |
| f(u) = k (k = constant) | f '(u) = 0 | ˩R |
| f(u) = x | f '(u) = 1 | ˩R |
| f(u) = a*x (a Є ˩R ) | f '(u) = a | ˩R |
| f(u) = x² | f '(u) = 2x | ˩R |
| f(u) = xn (u Є ˩N, n ≠ 0) |
f '(u) = n*xn-1
|
˩R |
| f(u) = 1/x | f '(u) = -1/x² | ]-∞ ; 0[ U]0 ; +∞[ |
| f(u) = sin(x) | f '(u) = cos(x) | ˩R |
| f(u) = cos(x) | f '(u) = -sin(x) | ˩R |
| f(u) = sin(a*x+b) | f '(u) = a*cos(a*x+b) | ˩R |
| f(u) = cos(a*x+b | f '(u) = -a*sin(a*x+b) | ˩R |
3) Opération sur les dérivées
| Fonction f | Fonction dérivée f ' |
| k*u (k = constant) | k*u ' |
| U + V | U ' + V ' |
| U * V | U ' * V + U * V ' |
| 1 / V | - V ' / V² |
| U / V | (U ' * V - U * V ') / V² |
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