Chapitre 1 : Le Second Degré

1. Résolution de l'équation ax²+bx+c, a≠0

Soit P(x) = ax²+bx+c, polynôme à coefficient a, b et c réels.

On pose Δ=b²-4ac, Δ est appelé discriminant de l'équation ax²+bx+c = 0

Démonstration :

P(x) = ax² + bx + c = 0, a ≠ 0

= a (x² + bx/a + c/a)

= a [(x + b/2a)² – b²/4a² - c/a ]

= a [(x + b/2a)² – b²-4ac/4a² ]

P(x) = a (x + b/2a)² - Δ/4a

P(x) = 0

Si Δ > 0

P(x) = a [(x + b/2a)² – Δ/4a² ] = 0

= a [(x + b/2a)² – (√Δ/2a) ] = 0

= a ( x + b/2a)² – √Δ/2a )( x + b/2a)² + √Δ/2a ) = 0

P(x) = a [ x + (b-√Δ)/2a ][ x + (b+√Δ)/2a ] = 0

Donc x₁ = (-b-√Δ)/2a et x₂ = (- b+√Δ)/2a

S = { (-b-√Δ)/2a ; (-b+√Δ)/2a }

P(x) = ax² + bx + c

= a (x + b/2a)² – Δ/4a

Si Δ = 0 alors P(x) = a (x + b/2a)² = 0

= (x + b/2a)² = 0

= x + b/2a = 0

P(x) = x = -b/2a

S = { -b/2a }

Si Δ = 0 alors l'équation admet une solution x₀ = -b/2a

Si Δ < 0

P(x) = a [(x + b/2a)² – Δ/4a² ] = 0

S = { Ø }

Si Δ < 0 alors l'équation n'admet pas de solution

2. Factorisation et signe du trinôme

Soit le polynôme du second degré P(x) = ax²+bx+c, a≠0

Si Δ > 0 alors P(x) = a (x-x₁) (x-x₂), x₁ et x₂ étant les racines du polynôme

Si Δ = 0 alors P(x) = a (x-x₀)²

Si Δ < 0 alors P(x) ne peut se factoriser en facteur de premier degré